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Concept
Équation de Kepler
Résumé
En astronomie, l'équation de Kepler est une formule liant, dans une orbite, l'excentricité e et l'anomalie excentrique E à l'anomalie moyenne M. L'importance de cette équation est qu'elle permet de passer des paramètres dynamiques du mouvement d'un astre (l'anomalie moyenne) aux paramètres géométriques (l'anomalie excentrique). Cette équation a été établie par Kepler dans le cas des orbites elliptiques, en analysant les relevés de position de la planète Mars effectués par Tycho Brahe. Elle fut ensuite généralisée aux autres formes d'orbites (paraboliques, hyperboliques, quasi-paraboliques, rectilinéaires) à l'aide des principes de la mécanique newtonienne.
L'équation de Kepler en tant que telle est celle établie par Kepler pour les orbites elliptiques. Elle peut cependant être déclinée en plusieurs formes pour couvrir tous les cas d'orbites.
L'équation de Kepler en orbite elliptique est :
avec l'anomalie moyenne M définie par :
avec n le moyen mouvement :
t le temps et t0 étant l'instant du passage au périastre. T est la période orbitale.
Le moyen mouvement peut être aussi exprimé par :
où
G est la constante universelle de la gravitation
m1 et m2 les masses des deux corps
a le demi-grand axe de l'ellipse ; p étant le paramètre de l'ellipse
L'équation de Kepler, associée au lien entre l'anomalie excentrique E et l'anomalie vraie v
permet de déterminer la position au cours du temps d'un astre sur son orbite.
En cas d'orbite hyperbolique (e > 1), on peut démontrer analytiquement une relation équivalente à l'équation de Kepler :
où sinh désigne le sinus hyperbolique.
M est défini de la même manière que dans le cas elliptique, avec l'expression du moyen mouvement suivant :
L'argument H n'est plus un angle comme c'est le cas de E dans le mouvement elliptique.
H est dans ce cas liée à l'anomalie vraie v par :
L'équation de Kepler n'est pas définie dans le cadre du mouvement parabolique (e = 1). Elle est remplacée par l'équation de Barker.
avec
et
Cette équation cubique peut être résolue de manière analytique par la méthode de Cardan.
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