Tétraèdre orthocentrique

En géométrie, un tétraèdre orthocentrique, est un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes. Leur point de concours est alors désigné comme l'orthocentre du tétraèdre. Il a été étudié par Simon Lhuilier en 1782 , puis par G. de Longchamps en 1890, qui lui a donné son nom . Le tétraèdre régulier, et le tétraèdre trirectangle en sont des cas particuliers, mais pas le tétraèdre quadrirectangle. vignette|350x350px Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux. De plus la relation dite d'Euler montre qu'il suffit que deux couples d'arêtes opposées soient formés d'arêtes orthogonales pour que les trois le soient. Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les pieds des quatre hauteurs sont les orthocentres des faces, et il suffit qu'un pied de hauteur le soit pour que le tétraèdre soit orthocentrique.Implication directe : Reprenant la démonstration précédente, la droite du plan orthogonal à est orthogonale à ; c'est donc la hauteur issue de dans le triangle . Mais par symétrie des hypothèses, les droites et sont les deux autres hauteurs du triangle : en est donc l'orthocentre, et de même pour . Réciproque : Supposons que soit l'orthocentre de . Le plan contient les droites et qui sont orthogonales à , il est donc orthogonal à . La droite qui est dans ce plan est donc orthogonale à et on pourrait faire de même avec les autres paires d'arêtes opposées. On obtient donc un tétraèdre orthocentrique quelconque en partant d'un triangle et en prenant le quatrième sommet sur la perpendiculaire au plan de ce triangle passant par l'orthocentre. vignette|Un tétraèdre ABCD et son parallélépipède circonscrit. a pour coordonnées barycentriques dans , et ainsi de suite. On peut inscrire un tétraèdre dans le parallélépipède dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées. Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si ce parallélépipède circonscrit a ses arêtes de même longueur, autrement dit est un rhomboèdre.