Densité de Schnirelmann

En mathématiques, la densité de Schnirelmann d'un ensemble d'entiers naturels non nuls est un nombre qui mesure de quelle façon cet ensemble est « dense ». C'est un exemple de densité asymptotique. Elle a été nommée en l'honneur du mathématicien russe Lev Schnirelmann, qui fut le premier à l'étudier. Intuitivement, nous ressentons qu'il y a « plus » de nombres impairs que de carrés parfaits ; toutefois, l'ensemble des nombres impairs n'est pas « plus grand » que l'ensemble des carrés parfaits : ces deux ensembles sont dénombrables et peuvent par conséquent être mis en bijection. Nous avons donc besoin d'une meilleure mesure pour formaliser notre notion intuitive. C'est ce qu'effectue la notion de densité asymptotique, dont la densité de Schnirelmann est un exemple. Soit un ensemble d'entiers naturels non nuls. On note le nombre d'éléments de , c’est-à-dire le nombre d'éléments de qui sont inférieurs ou égaux à ou encore . Alors, la densité de Schnirelmann de est le nombre réel : où désigne la borne inférieure (qui existe toujours, contrairement à la limite , appelée densité asymptotique, ou densité naturelle, ou densité arithmétique). Par exemple, l'ensemble des nombres impairs possède une densité de Schnirelmann de . Celle des carrés des nombres entiers ou des nombres de Mersenne est nulle, bien que ces deux ensembles soient infinis. La fonction densité de Schnirelmann σ (définie sur l'ensemble des parties de N*) possède les propriétés suivantes, pour toute partie A de N* : 0 ≤ σ(A) ≤ 1 ; si σ(A)=0 alors pour tout ε>0, il existe n tel que A(n) < εn, ce qui découle de la définition de σ(A) comme borne inférieure, ainsi que : ∀ n, A(n) ≥ nσ(A), dont on déduit : si σ(A)=1 alors A=N* (la réciproque étant immédiate) ; si 1 n'appartient pas à A alors σ(A)=0 (car A(1)=0). On pourrait se demander quelle est l'utilité d'une telle fonction de densité, puisqu'elle est extrêmement sensible aux premières valeurs de l'ensemble considéré (l'ensemble des nombres pairs, par exemple, a une densité de Schnirelmann nulle).