Algorithme de Thompson

En informatique théorique plus précisément en théorie des langages, l'algorithme de Thompson est un algorithme qui, étant donné une expression régulière, crée un automate fini qui reconnaît le langage décrit par cette expression. Il est nommé ainsi d'après Ken Thompson qui l'a décrit en 1968. Le théorème de Kleene affirme que l'ensemble des langages rationnels sur un alphabet est exactement l'ensemble des langages sur reconnaissables par automate fini. Il existe des algorithmes pour passer de l'un à l'autre. L'algorithme de Thompson permet d'aller de l'expression à l'automate, tout comme la construction de Glushkov. L'algorithme de McNaughton et Yamada permet d'aller dans l'autre sens. L'algorithme consiste à construire l'automate petit à petit, en utilisant des constructions pour l'union, l'étoile et la concaténation. Ces constructions font apparaître des epsilon transitions qui sont ensuite éliminées (La méthode d'élimination des epsilon transitions est détaillée dans l'article « Epsilon transition »). À chaque expression rationnelle s est associé un automate fini N(s). Cet automate est construit par induction sur la structure de l'expression. N(s) et N(t) étant les automates associés aux expressions s et t, l'automate pour l'union des deux expressions (s+t) branche depuis l'état initial q soit dans N(s) soit dans N(t). Pour une concaténation s.t, on place les automates N(s) et N(t) en séquence. Pour l'étoile de Kleene, s*, on construit un automate qui boucle sur l'automate N(s). Considérons par exemple le langage défini par l'expression rationnelle . Le tableau suivant montre les étapes de construction d'un automate reconnaissant ce langage avec l'algorithme de Thompson. En appliquant un post-traitement pour supprimer les epsilon transitions, on obtient un automate avec moins d'états reconnaissant le même langage : On peut donner une majoration de la taille de l’automate en fonction de la taille de l'expression. La taille |e| d'une l'expression e est mesurée par le nombre de symboles qui y figurent, à l'exception des parenthèses.