Équation de Yang-Baxter
En physique, l'équation de Yang–Baxter (ou relation triangle-étoile) est une relation de compatibilité qui a été introduite en mécanique statistique. Elle repose sur l'idée que dans certaines situations de diffusion, les particules sont susceptibles de préserver leur moment tout en changeant leur état quantique interne. Elle exprime qu'une matrice qui agit sur deux objets sur trois satisfait à Dans les systèmes quantiques en dimension 1, est la matrice de diffusion ; si elle satisfait à l'équation de Yang-Baxter, alors le système est intégrable. L'équation de Yang-Baxter intervient également dans la théorie des nœuds et la théorie des groupes de tresses, où correspond à l'échange de deux brins. Vu que l'on peut échanger trois brins de deux façons différentes, l'équation de Yang-Baxter exprime que les deux reviennent au même. L'équation est nommée d'après des travaux indépendants de Chen Ning Yang en 1968 et Rodney James Baxter en 1971. Soit une algèbre associative unitaire. Sous sa forme la plus générale, l'équation de Yang-Baxter paramétrée est une équation portant sur , un élément du produit tensoriel , où et sont les paramètres (généralement des réels dans le cas d'un paramètre additif, ou des réels strictement positifs dans le cas d'un paramètre multiplicatif). On pose pour , où les sont les morphismes d'algèbres définis par La forme générale de l'équation de Yang-Baxter est pour toutes les valeurs de , et . Soit une algèbre associative unitaire. L'équation de Yang-Baxter non paramétrée pour , un élément inversible du produit tensoriel est où, comme ci-dessus, , et . Souvent, l'algèbre associative est l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur un corps , c'est-à-dire que . Étant donné une base de , les coefficients de la matrice sont notés , qui correspond à l'application . En omettant la dépendance par rapport au paramètre, le coefficient de l'équation de Yang-Baxter correspondant à l'application s'écrit Soit un module sur . Soit la volte, c'est-à-dire l'application linéaire définie par pour tous , et soit .
