Polyèdre adouci

En géométrie, un polyèdre adouci est un polyèdre obtenu en écartant les faces d'un polyèdre et en comblant les trous par des triangles équilatéraux. Souvent, cela consiste à remplacer chaque sommet du polyèdre par un triangle équilatéral et chaque arête par deux triangles équilatéraux. L'appellation "adouci" vient du fait que le polyèdre obtenu par cette déformation possède des angles dièdres beaucoup moins aigus et une surface plus proche de celle de la sphère. La plupart des polyèdres adoucis sont chiraux. Les polyèdre adoucis chiraux n'ont pas de symétries réflectives, ils ont de ce fait 2 formes énantiomorphes qui sont symétriques l'une de l'autre et non superposables dans un miroir. C'est le cas du cube adouci : Ils ont cependant des groupes de symétrie qui sont des rotations qui laissent le polyèdre globalement inchangé. Il y en a deux grands types : O : La symétrie octaédrique, groupe du cube et de l'octaèdre, d'ordre 24. I : La symétrie icosaédrique, groupe du dodécaèdre et de l'icosaèdre, d'ordre 60. Il y a en tout 12 polyèdres adoucis uniformes. Mais on rajoute ici également : L'icosaèdre régulier (qui est cependant rarement considéré comme tel), mais il peut être en effet obtenu en changeant les 4 sommets d'un tétraèdre par 4 triangles et ses 6 arêtes par 6 paires de triangles : 4 + 4 + 2 × 6 = 20, on obtient bien un icosaèdre. Le grand dirhombidodécaèdre disadouci qui n'est pas considéré comme strictement uniforme (mais seulement uniforme au sens large), car il possède la particularité étrange de faire se rencontrer plus de deux faces sur une même arête. Il est parfois appelé "polyèdre de Skilling". Quelques remarques : Les trois premiers sont les seuls à être convexes et non croisés. Ils sont obtenus par l'adoucissement de solides de Platon, à savoir, respectivement : le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre. Il est impossible d'adoucir les deux autres solides de Platon (à savoir l'icosaèdre et l'octaèdre) parce qu'on obtiendrait alors plus de 6 triangles équilatéraux à un même sommet : impossible (et également parce qu'il faudrait remplacer un sommet d'ordre 4 ou 5 par un triangle qui ne remplace que les sommets d'ordre 3).