Pi-système

En mathématiques, un π-système (ou pi-système) sur un ensemble est un ensemble de parties de stable par intersection. Les π-systèmes font partie des familles d'ensembles que l'on rencontre en théorie de la mesure et théorie des probabilités. On sait par exemple grâce au lemme de classe monotone que deux mesures finies, et en particulier deux mesures de probabilités, dont les valeurs coïncident sur un π-système, coïncident également sur la tribu engendrée par le dit π-système. Les π-systèmes offrent donc une famille d'ensembles de prédilection, et relativement simple, pour vérifier l'égalité de deux mesures ou bien l'unicité de la construction d'une mesure. Il est important de remarquer que certains auteurs requièrent dans la définition la condition supplémentaire que ne soit pas vide , ou bien encore que appartienne à . Ceci évitant la manipulation du π-système vide dans les preuves. On peut faire remonter l'usage du terme π-système au moins jusqu'au mathématicien Eugene Dynkin en 1961. Une algèbre d'ensembles est un π-système, et par conséquent une tribu l'est aussi. Une topologie est un π-système. L'ensemble des intervalles semi-ouverts à droite, (en y adjoignant l’intervalle vide) est un π-système. Il en va de même pour les autres familles d'intervalles même non bornés. Dans cette section établissons quelques propriétés des π-systèmes qui ne sont pas étrangères à celle des tribus. Comme conséquence directe de cette propriété, on obtient que pour toute famille de parties d'un ensemble il existe un plus petit π-système qui la contient, au sens de l'inclusion des ensembles. On pourrait l'appeler le π-système engendré par par analogie avec les tribus engendrées. Il est unique et se construit comme l'intersection de tous les π-systèmes qui contiennent . Dans le cas remarquable d'une variable aléatoire réelle définie sur un espace de probabilité , les ensembles pour réel est un π-système. Par ailleurs on obtient la fonction de répartition de comme les probabilités des ensembles de ce π-système en posant pour tout réel où désigne la mesure de probabilité considérée sur .