Théorème de Darboux (analyse)

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème de Darboux est un théorème démontré par Gaston Darboux en 1875 et qui étend le théorème des valeurs intermédiaires aux fonctions non nécessairement continues mais seulement dérivées de fonctions réelles. Il existe plusieurs démonstrations. La preuve originelle de Darboux repose essentiellement — comme celle du théorème de Rolle — sur le théorème des bornes et le théorème de Fermat sur les extrema locaux. D'autres, comme celle de Lebesgue ou une variante récente (ci-dessous), utilisent d'autres résultats d'analyse élémentaire : le théorème des valeurs intermédiaires joint au théorème de Rolle ou des accroissements finis. L'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires est parfois implicite. Considérons les fonctions continues : et D'après le théorème des valeurs intermédiaires, et sont des intervalles contenant tous deux le taux , leur réunion est encore un intervalle contenant et . Si est strictement compris entre et , il existe donc un tel que . Par exemple si , le théorème des accroissements finis prouve l'existence de et donc à fortiori de tel que . Une fonction réelle f, définie sur un intervalle I, vérifie la propriété des valeurs intermédiaires si, u et v étant les deux valeurs prises par f respectivement en deux points quelconques a et b de I, toutes les valeurs comprises entre u et v sont également prises par f lorsque la variable varie de a à b. C'est le cas des fonctions continues, ce résultat constituant le théorème des valeurs intermédiaires. Au , la plupart des mathématiciens pensaient que, réciproquement, une fonction f sur I qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est nécessairement continue sur I. Autrement dit, la propriété des valeurs intermédiaires serait une caractéristique des fonctions continues. En 1875, Darboux mit un terme à cette conviction, en prouvant d'une part qu'il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est continue sur aucun intervalle et d'autre part ^énoncé, que toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.