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Concept
Théorème H
Résumé
Le théorème H est un théorème démontré par Boltzmann en 1872 dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. Il décrit l'évolution vers l'équilibre thermodynamique d'un gaz satisfaisant à l'équation de Boltzmann et subissant des interactions élastiques. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur qui varie de façon monotone au cours du temps, pendant que le gaz relaxe vers l'état d'équilibre caractérisé par la loi de Maxwell pour les vitesses des particules du milieu. Cette quantité varie à l'opposé de l'entropie thermodynamique.
vignette|Schéma d'une interaction moléculaire élastique dans le système lié au barycentre.
On peut écrire l'équation de Boltzmann sous la forme suivante (équation de Wang Chang et Uhlenbeck)
où
{|
|-
| || distribution des vitesses v au point x et à l'instant t pour la particule i,
|-
| || vitesse relative avant interaction,
|-
| || distance d'impact,
|}
et sont les vitesses après interaction.
On introduit la quantité
En physique statistique cette quantité varie à l'opposé de l'entropie.
Par dérivation et en tenant compte de l'équation de Boltzmann il vient :
Par permutation des indices on peut réécrire cette équation sous la forme suivante :
L'intégrande est de la forme :
si x > y alors les deux parties sont positives,
si x < y alors les deux parties sont négatives.
Dans tous les cas ce terme est donc positif ou nul et l'intégrale est elle-même positive ou nulle, donc :
La vitesse à laquelle relaxe le milieu a fait l'objet de nombreuses études centrées autour de la conjecture de Cercignani.
La théorie cinétique des gaz, qui est basée sur l'application de la mécanique classique aux molécules constituant le gaz à l'échelle microscopique, s'est développée à partir des travaux fondateurs de James Clerk Maxwell (1850). Par la suite Ludwig Boltzmann (1872 et 1877) puis Willard Gibbs (1902) lui ont donné la forme que l'on trouve dans les ouvrages classiques.
Loschmidt puis Zermelo formulèrent des critiques virulentes contre le théorème H, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ».
Source officielle
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