Paradoxe de Saint-Pétersbourg

vignette|Un lancer de pièce, expérience aléatoire au centre du paradoxe de Saint-Pétersbourg Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est un paradoxe lié aux probabilités et à la théorie de la décision en économie. Il consiste en un jeu de loterie modélisé par une variable aléatoire dont l'espérance mathématique est infinie, mais pour lequel les participants n'accepteraient de payer qu'une petite somme d'argent pour y jouer. Le paradoxe de Saint-Pétersbourg montre qu'un critère de décision naïf basé uniquement sur l'espérance mathématique amène à des choix que personne ne ferait dans la pratique. Différentes approches ont été proposées pour résoudre ce paradoxe. Ce paradoxe a été énoncé en 1713 par Nicolas Bernoulli. La première publication est due à Daniel Bernoulli, « Specimen theoriae novae de mensura sortis », dans les Commentarii de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg (d'où son nom). Mais cette théorie remonte à un courrier privé de Gabriel Cramer à Nicolas Bernoulli, dans une tentative de réponse à ce paradoxe. Pour ces deux auteurs, le joueur refuse de tout miser car il ne peut risquer de perdre tout son argent. Dans cette théorie de l'espérance morale formalisée par Bernoulli, ils introduisent une fonction d'utilité marginale. Cependant, ces deux auteurs divergent sur la fonction d'utilité : logarithme naturel pour Bernoulli et racine carrée pour Cramer. Ces idées sont reprises plus tard par les marginalistes. Puis la théorie de l'espérance morale fut largement débattue dans les années d'après-guerre. Des mathématiciens comme Émile Borel jugent cette théorie intéressante d'un point de vue psychologique mais sans intérêt pratique et maintenant « abandonnée », tandis que des économistes s'intéressant à la théorie des jeux développent largement le concept et la fonction utilité. Maurice Allais propose une étude systématique du comportement des agents économiques et souligne la difficulté de définir la rationalité d'un agent économique dans une théorie du risque. Il oppose un joueur et une banque dans un jeu à somme nulle.