Cascade turbulente

La cascade turbulente est une forme de transfert d'énergie entre les tourbillons à grande énergie cinétique et les plus petits qui absorbent et dissipent celle-ci. Ce mécanisme est à l'origine du spectre d'énergie turbulente dans un écoulement. Ce mécanisme a été expliqué qualitativement par Lewis Fry Richardson en 1922. On parle alors de cascade de Richardson. Les lois correspondantes ont été obtenues par Andreï Kolmogorov en 1941. Pour ces lois on utilise le terme de cascade de Kolmogorov. On peut expliquer la génération de fréquences étendues dans le spectre d'un écoulement à partir d'une analogie avec l'équation modèle unidimensionnelle Si on impose la condition initiale la solution à l'instant δt s'exprime sous forme de série de Taylor par On voit ainsi apparaître des harmoniques de la fréquence de forçage. Ceci est dû au terme non-linéaire dans l'équation, lequel correspond au transport de quantité de mouvement dans les équations de Navier-Stokes. En multidimensionnel, ce mécanisme conduit à l'apparition d'harmoniques dans chaque direction mais également de fréquences obtenues par somme et différence des fréquences initiales sur chaque axe. Un tel résultat suggère la possibilité de générer des tourbillons de plus grande ou plus petite dimension dans un écoulement. Nous nous plaçons dans le cadre des milieux incompressibles. On note la moyenne statistique. Soit la vitesse. On la décompose entre vitesse moyenne et fluctuation : On suppose le milieu homogène et stationnaire en moyenne : . La moyenne statistique se ramène donc à une moyenne temporelle. On définit la corrélation des fluctuations entre deux points i et j distants de par la matrice d'auto-covariance : Ce terme (ou ce terme multiplié par la masse volumique) est appelé matrice des contraintes (ou tensions) de Reynolds. La densité spectrale de vitesse pour le nombre d'onde est obtenu par une transformée de Fourier : On définit également la densité spectrale d'énergie turbulente à partir de la trace de : L'énergie cinétique turbulente massique k est donnée par l'intégration sur tout le spectre : Le taux de dissipation est défini par : où ν est la viscosité cinématique et τij le tenseur des contraintes visqueuses.