Concept
En algèbre, un groupe est dit super-résoluble s'il possède une suite normale (avec G normal dans G) dont tous les quotients G/G sont monogènes. Détaillons les implications strictes : super-résoluble ⇒ polycyclique ⇒ résoluble. Tout groupe super-résoluble est (notion plus faible où l'on demande seulement que chaque G soit normal dans G). Tout groupe polycyclique est résoluble (notion encore plus faible où de plus, on demande seulement que les quotients G/G soient abéliens). Plus précisément, un groupe est polycyclique si et seulement s'il est résoluble et tous ses sous-groupes sont de type fini. Le groupe alterné A est polycyclique (car fini et résoluble) mais pas super-résoluble, puisque son seul sous-groupe normal non trivial (le groupe de Klein) n'est pas cyclique. Pour tout n ≥ 2, le groupe de Baumslag-Solitar BS(1, n) = ⟨a, b | bab = a⟩ est résoluble mais pas polycyclique, car son sous-groupe dérivé est Z[1/n]. Tout groupe nilpotent dont l'abélianisé est de type fini est super-résoluble. Tout est super-résoluble. En particulier, tout (groupe fini dont les sous-groupes de Sylow sont cycliques) est super-résoluble. La classe des groupes super-résolubles est stable par sous-groupes, quotients et produits finis. Le groupe dérivé d'un groupe super-résoluble est nilpotent. Tout groupe fini super-résoluble possède une suite normale dont tous les quotients sont d'ordre premier. On peut même ordonner ces nombres premiers : pour tout nombre premier p, si π désigne l'ensemble des nombres premiers qui lui sont strictement supérieurs, tout groupe fini super-résoluble a un unique π-sous-groupe de Hall (i. e. dont l'ordre a pour facteurs premiers des éléments de π et l'indice n'est divisible par aucun élément de π). Un tel groupe est donc « à tour de Sylow ordonnée » (tandis que A, par exemple, n'a qu'une tour de Sylow non ordonnée). Un groupe fini G est super-résoluble si et seulement si tous ses sous-groupes (y compris lui-même) vérifient la « réciproque du théorème de Lagrange » : pour tout diviseur d de l'ordre d'un sous-groupe H de G, H a au moins un sous-groupe d'ordre d.