Application complètement positive

En mathématiques, une application positive entre deux C*-algèbres est une application linéaire qui est croissante, c'est-à-dire qui envoie tout sur un élément positif. Une application complètement positive est une application telle que pour tout entier naturel k, l'application induite, entre les algèbres correspondantes de matrices carrées d'ordre k, est positive. Les applications complètement positives entre C*-algèbres de matrices sont classifiées par un théorème dû à Man-Duen Choi. Le « théorème de Radon-Nikodym de pour les applications complètement positives » est une généralisation algébrique en dimension infinie. Pour tout entier naturel k, on note M(C) la C*-algèbre des matrices k × k à coefficients complexes et I désignera son application identité. Toute application linéaire Φ : A → B entre deux C*-algèbres induit naturellement une application linéaire I⊗Φ, de M(C)⊗A ≃ M(A) dans M(C)⊗B ≃ M(B) : Φ est dite : positive si Φ(A) ⊂ B, c'est-à-dire si pour tout élément positif a de A, l'élément Φ(a) est positif dans B ; k-positive si l'application I⊗Φ est positive ; complètement positive si elle est k-positive pour tout k. Si A est une algèbre de matrices M(C), alors : les éléments positifs de A sont les matrices positives, c'est-à-dire les matrices hermitiennes dont toutes les valeurs propres sont positives ; les M(A) sont elles-mêmes (à isomorphisme près) des algèbres de matrices : M(C)⊗M(C) ≃ M(C). Pour une application linéaire Φ : M(C) → M(C), on peut donc expliciter I⊗Φ en termes de matrices par blocs, et Φ est k-positive si et seulement si l'image par I⊗Φ de toute matrice positive est une matrice positive. Par exemple, l'application T : M(C) → M(C) qui à toute matrice associe sa transposée est clairement 1-positive (c'est-à-dire positive) mais n'est pas 2-positive. En effet, la matrice suivante de M(C)⊗M(C) ≃ M(C) est positive : mais son image par I⊗T est qui n'est pas positive puisque son déterminant vaut –1. À toute application linéaire Φ : M(C) → M(C) on associe sa « matrice de Choi » C ∈ M(C)⊗M(C) ≃ M(C), définie par où les E sont les unités matricielles formant la base canonique de M(C).