Espace de configuration (mathématiques)

vignette|L'espace de configuration de paires de points non-ordonnées sur le cercle est le ruban de Möbius. En mathématiques, un espace de configuration est l'une des constructions étroitement liées à aux espaces d'états en physique. Ceux-ci sont utilisés en physique pour décrire l'état d'un système complet comme un seul point dans un espace de grande dimension. En mathématiques, ils sont utilisés pour décrire les collections de points dans un espace topologique. Plus précisément, l'espace de configuration en mathématiques est un exemple d'espace de configuration en physique, dans le cas particulier de plusieurs particules qui n'entrent pas en collision. Pour un espace topologique , le nième espace de configuration ordonnée de est l'ensemble des n-uplets de points deux-à-deux distincts dans : Cet espace est généralement muni de la topologie induite par l'inclusion de dans . Il est parfois noté , ou . Il y a une action naturelle du groupe symétrique sur les points de , donnée par : Cette action permet de définir l'espace de configuration non-ordonnée de X comme : C'est l'espace des orbites de l'action. Intuitivement, cette action « oublie le nom des points ». Ce nouvel espace est parfois noté . La collection de tous les espaces de configuration non-ordonné sur X est « l'espace de Ran » de X et est muni d'une topologie naturelle. Pour un espace topologique et un ensemble fini , l'espace de configuration de particules étiquetées par S dans X est : Pour , on définit . Alors le ème espace de configuration de X est . L'espace de configuration ordonnée de deux points dans est homéomorphe au produit de l'espace euclidien tridimensionnel avec un cercle, c'est-à-dire . Plus généralement, l'espace de configuration de deux points est homotopiquement équivalent à la sphère . Le ième groupe de tresses sur un espace topologique connexe est , le groupe fondamental du ième espace de configuration non-ordonné de . Le ième groupe de tresses pures sur X est . Les premiers groupes de tresses étudiés furent les groupes de tresses d'Artin .