Lemme de Riesz

Le lemme de Riesz, dû au mathématicien Frigyes Riesz, est un résultat d'analyse fonctionnelle sur les sous-espaces vectoriel fermés d'un espace vectoriel normé réel. Sa principale conséquence est le théorème de Riesz, selon lequel un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si et seulement si ses boules fermées sont compactes. Plus généralement, un espace vectoriel topologique réel séparé est de dimension finie si et seulement s'il est localement compact. Ce théorème établit donc une équivalence entre une propriété algébrique et une propriété topologique. Dans cet énoncé, désigne la distance entre u et F pour la distance associée à la norme, c'est-à-dire que Par contraposée, ce lemme équivaut à : Soient E un espace vectoriel normé réel et G un sous-espace vectoriel quelconque. S'il existe un réel r strictement inférieur à 1 tel que pour tout vecteur unitaire u de E on ait , alors G est dense dans E. Cet énoncé s'applique aussi aux espaces vectoriels normés complexes, puisqu'ils sont (par oubli de structure) des espaces vectoriels normés réels. Dans les espaces vectoriels normés sur un corps valué autre que R, on trouve des contre-exemples lorsque le corps est non localement compact (comme le corps des rationnels) ou lorsqu'il est discret (comme les corps finis) : R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie et normé par la valeur absolue usuelle, mais sa boule unité fermée est compacte, toute partie bornée est relativement compacte et l'ensemble est localement compact ; Inversement, Q est un Q-espace vectoriel de dimension 1 mais aucun voisinage de l'origine n'est compact ; L'espace des suites à valeurs dans le corps F, muni de la norme constante égale à 1 en dehors de la suite nulle, est localement compact (car discret) mais de dimension infinie et sa boule unité fermée n'est pas compacte. Si E est seulement un espace vectoriel topologique réel séparé, on a encore : La démonstration du sens direct repose essentiellement sur la définition de la compacité et sur l'existence, dans E localement compact, d'un voisinage ouvert du vecteur nul d'adhérence compacte (dans le cas d'un espace vectoriel normé, ce voisinage B peut être choisi égal à la boule unité ouverte).