Fausse fonction thêta

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fausse forme modulaire est la partie holomorphe d'une harmonique, et une fausse fonction thêta est essentiellement une fausse forme modulaire de poids 1/2. Les premiers exemples de fausses fonctions thêta furent décrits par Srinivasa Ramanujan dans sa dernière lettre à Godfrey Harold Hardy (en 1920) et dans son cahier perdu ; il a découvert alors que ces fonctions se comportent en partie comme les fonctions thêta, d'où leur nom (mock theta functions en anglais). Sander Zwegers découvrit en 2001 la relation entre les fausses fonctions thêta et les formes de Maas. La lettre de Ramanujan à Hardy du 12 janvier 1920 donne une liste de 17 exemples de fonctions se comportant en partie comme les fonctions thêta, et qu'il propose d'appeler des mock theta functions (dans cette lettre, il ne fait pas une distinction claire entre les « vraies » fonctions thêta et ce qu'on appelle actuellement des formes modulaires) ; le cahier perdu, écrit à la même époque, contient plusieurs autres exemples. Ramanujan indique qu'elles ont un développement asymptotique aux « pointes » (c'est-à-dire aux sommets situés sur l'axe réel du polygone fondamental correspondant au groupe modulaire), semblable à celui des formes modulaires de poids 1/2 (peut-être avec des pôles aux pointes), mais qu'elles ne peuvent pas être exprimées en termes de fonctions thêta « ordinaires ». Ramanujan associait un ordre à ces fonctions, mais sans le définir clairement ; cette notion s'avéra correspondre au du caractère de la forme de Maas admettant la fausse fonction thêta comme projection holomorphe (avant les travaux de Zwegers, on ne connaissait que des exemples d'ordre 3, 5, 6, 7, 8 et 10). Dans les décennies suivantes, les fausses fonctions thêta furent étudiées par de nombreux mathématiciens, dont Watson, Andrews et Selberg, qui démontrèrent les affirmations de Ramanujan à leur sujet, et découvrirent plusieurs autres exemples et identités (la plupart étaient déjà connus de Ramanujan, et figuraient dans le cahier perdu).