Oméga de Chaitin

thumb|right|upright=1.2|Un nombre Oméga de Chaitin est une suite de bits représentant, sous forme concentrée, la solution du problème de l'arrêt pour tous les programmes d'une machine de Turing universelle donnée. En théorie algorithmique de l'information, une constante 'Oméga de Chaitin' (nombres définis et étudiés par Gregory Chaitin) caractérise de manière univoque et mathématiquement précise un nombre réel, qui possède la particularité d'être aléatoire et de ne pas être calculable au sens de Turing : un algorithme donné ne permet de calculer qu'un nombre fini de ses décimales. Jusqu'à la définition de ce nombre, il n'existait pas d'exemple mathématiquement précis et « concret » de suite aléatoire. Techniquement, il est défini comme étant la probabilité qu’un programme auto-délimité, généré aléatoirement, finisse par s'arrêter. Les programmes en question sont associés à une machine de Turing universelle ou à un modèle de calcul donné. Il existe donc une infinité de constantes de Chaitin, chacune associée soit à une machine de Turing universelle donnée, soit à un modèle de calcul. Cette définition permet également de coder, sous la forme la plus compacte possible, la solution du problème de l'arrêt pour tous les programmes d'un modèle de calcul donné. Comme il est possible de traduire la plupart des problèmes mathématiques en termes de programme informatique qui s'arrête ou non, la connaissance d'un nombre Oméga permet — en principe — de démontrer un grand nombre de théorèmes ou de conjectures mathématiques, dont certains encore non résolus à ce jour comme l'hypothèse de Riemann. Ces nombres apportent un éclairage sur l'incomplétude des mathématiques, mise au jour par le célèbre théorème de Gödel, ainsi que des éléments d'appréciation en ce qui concerne sa signification et sa portée. Soit P le domaine d'une machine de Turing universelle U, c'est-à-dire l'ensemble des programmes p auto-délimités pouvant être exécutés par U qui s'arrêtent. Par définition : où p est la longueur de p.