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Concept
Moyenne de Reynolds
Résumé
Dans le cadre du traitement en mécanique des fluides de la turbulence, l'utilisation de la décomposition de Reynolds appliquée aux solutions de l'équation de Navier-Stokes permet de simplifier le problème en faisant disparaitre les fluctuations de périodes et d'amplitudes courtes. La méthode est connue sous le nom de moyenne de Reynolds ou sous le terme anglais de RANS pour Reynolds-averaged Navier–Stokes, du nom de celui qui l'a développé, Osborne Reynolds.
On rappelle la forme de l'équation de Navier-Stokes dans le cas des fluides incompressibles :
avec les notations
Cette équation s'écrit sous une forme plus compacte :
où représente la ième composante du champ de vitesses instantanées à l'instant t aux coordonnées dans le fluide, et représentent respectivement les dérivations partielles par rapport au temps et par rapport à la ième coordonnée spatiale, représente la densité du fluide, ici constante d'après l'hypothèse d'incompressibilité et le tenseur des contraintes défini par ses composantes :
où est le symbole de Kronecker, qui vaut 1 si i = j et 0 sinon.
g est la densité volumique de la force extérieure appliquée.
L'utilisation de la décomposition de Reynolds se justifie lorsqu'on a affaire à un phénomène présentant un spectre séparé en deux parties nettement distinctes : une bande de basses fréquences ou de régime quasi-permanent, de contribution moyenne sinon constante, du moins variant peu au cours du temps, nettement séparée d'une bande de régimes transitoires de haute fréquence et de contribution moyenne nulle. Ainsi :
où la barre au-dessus du u signale la moyenne statistique, l'apostrophe sur le u signale le terme d'écart par rapport à cette moyenne.
Cet artifice permet de faire apparaître un problème à variation spatio-temporelle lente, éventuellement de dimension 2 là où le problème turbulent est à variations rapides et généralement de dimension 3.
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