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Concept
Congruences de Ramanujan
Résumé
En mathématiques, les congruences de Ramanujan sont des congruences remarquables à propos de la fonction de partition p(n). Le mathématicien Srinivasa Ramanujan a découvert les congruences:
Cela signifie que
Si un nombre est congru à 4 modulo 5, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 5.
Si un nombre est congru à 5 modulo 7, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
5, 12, 19, 26, 33, 40, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 7.
Si un nombre est congru à 6 modulo 11, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
6, 17, 28, 39, 50, 61, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 11.
Dans son article de 1919, il donne la preuve des deux premières congruences en utilisant les identités suivantes (en utilisant la notation de Q-symbole de Pochhammer):
Il dit ensuite qu'« il semble qu'il n'y ait pas de propriétés d'une simplicité égale pour d'autres nombres premiers que ceux-ci ».
Après la mort de Ramanujan, en 1920, G.H. Hardy a extrait les preuves des trois congruences d'un manuscrit inédit de Ramanujan sur p(n) (Ramanujan, 1921). La preuve emploie la série d'Eisenstein.
En 1944, Freeman Dyson définit la fonction de rang et conjecture l'existence d'une fonction crank pour les partitions qui fournirait une preuve combinatoire des congruences de Ramanujan modulo 11. Quarante ans plus tard, George Andrews et Frank Garvan ont trouvé une telle fonction et prouvé simultanément les trois congruences de Ramanujan modulo 5, 7 et 11.
Dans les années 1960, A. O. L. Atkin à l'Université de l'Illinois à Chicago a découvert des congruences supplémentaires pour de petits nombres premiers. Par exemple:
en prolongeant les résultats de A. Atkin, Ken Ono en 2000 a prouvé qu'il y a de telles congruences de Ramanujan pour chaque entier premier avec 6. Par exemple, ses résultats donnent
en 2005, son élève Karl Mahlburg a amélioré encore ces résultats, en explicitant le crank.
Source officielle
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Concepts associés (4)
Rank of a partition
In mathematics, particularly in the fields of number theory and combinatorics, the rank of a partition of a positive integer is a certain integer associated with the partition. In fact at least two different definitions of rank appear in the literature. The first definition, with which most of this article is concerned, is that the rank of a partition is the number obtained by subtracting the number of parts in the partition from the largest part in the partition.
Crank of a partition
In number theory, the crank of a partition of an integer is a certain integer associated with the partition. The term was first introduced without a definition by Freeman Dyson in a 1944 paper published in Eureka, a journal published by the Mathematics Society of Cambridge University. Dyson then gave a list of properties this yet-to-be-defined quantity should have. In 1988, George E. Andrews and Frank Garvan discovered a definition for the crank satisfying the properties hypothesized for it by Dyson.
Srinivasa Ramanujan
vignette|thumbtime=566|start=567|end=610|alt=documentaire indien en anglais|upright=1.5|Extrait de Srinivasa Ramanujan- The Mathematician & His Legacy (Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage), un documentaire produit par le Ministère des Affaires étrangères de l'Inde ; on y voit les cahiers de Ramanujan, conservés à l'université de Madras. Srinivasa Ramanujan (en tamoul : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), né le à Erode et mort le à Kumbakonam, est un mathématicien indien.