Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Congruences de Ramanujan
Résumé
En mathématiques, les congruences de Ramanujan sont des congruences remarquables à propos de la fonction de partition p(n). Le mathématicien Srinivasa Ramanujan a découvert les congruences:
Cela signifie que
Si un nombre est congru à 4 modulo 5, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 5.
Si un nombre est congru à 5 modulo 7, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
5, 12, 19, 26, 33, 40, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 7.
Si un nombre est congru à 6 modulo 11, c'est-à-dire qu'il est compris dans la suite
6, 17, 28, 39, 50, 61, . . .
alors le nombre de ses partitions est un multiple de 11.
Dans son article de 1919, il donne la preuve des deux premières congruences en utilisant les identités suivantes (en utilisant la notation de Q-symbole de Pochhammer):
Il dit ensuite qu'« il semble qu'il n'y ait pas de propriétés d'une simplicité égale pour d'autres nombres premiers que ceux-ci ».
Après la mort de Ramanujan, en 1920, G.H. Hardy a extrait les preuves des trois congruences d'un manuscrit inédit de Ramanujan sur p(n) (Ramanujan, 1921). La preuve emploie la série d'Eisenstein.
En 1944, Freeman Dyson définit la fonction de rang et conjecture l'existence d'une fonction crank pour les partitions qui fournirait une preuve combinatoire des congruences de Ramanujan modulo 11. Quarante ans plus tard, George Andrews et Frank Garvan ont trouvé une telle fonction et prouvé simultanément les trois congruences de Ramanujan modulo 5, 7 et 11.
Dans les années 1960, A. O. L. Atkin à l'Université de l'Illinois à Chicago a découvert des congruences supplémentaires pour de petits nombres premiers. Par exemple:
en prolongeant les résultats de A. Atkin, Ken Ono en 2000 a prouvé qu'il y a de telles congruences de Ramanujan pour chaque entier premier avec 6. Par exemple, ses résultats donnent
en 2005, son élève Karl Mahlburg a amélioré encore ces résultats, en explicitant le crank.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.