Nombre premier de Ramanujan
En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers. En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est : en particulier ≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... pour tout x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... respectivement, où (x) est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les premiers nombres conformes à cette définition. Autrement dit : Le nième premier de Ramanujan est l'entier Rn qui est le à satisfaire la condition ≥ n, pour tout x ≥ Rn. Une autre façon de poser ce résultat est: Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers Rn qui sont les à garantir qu'il y a n premiers entre x et x/2 pour tout x ≥ Rn. Puisque Rn est le plus petit nombre conforme à ces conditions, il doit être premier: et donc doivent augmenter en obtenant un autre nombre premier x = Rn. Puisque peut augmenter d'au moins 1, RnRn. Par exemple, le nombre de nombres premiers entre 13 et sa moitié (6,5) est égal à trois (ce sont 7, 11 et 13). Cependant, 13 n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car entre 16 et sa moitié 8, il n'y a que deux nombres premiers (11 et 13). Ce n'est qu'à partir de 17 qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers entre x/2 et x, et donc on a bien . Les premiers éléments de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont : 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, etc. Pour tout n ≥ 1, 2n ln 2n < Rn < 4n ln 4n Si n > 1, alors p2n < Rn < p3n, où pn est le nième nombre premier. Si n tend vers l'infini, Rn est équivalent au 2nième premier, i.