Moyenne de Stolarsky

En mathématiques, la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique. Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 . Étant donné un nombre réel p différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre p de deux nombres réels strictement positifs a, b est définie par : Étant donné une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée strictement monotone sur , il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel dans l'intervalle tel que (qui est la valeur moyenne de sur ) La moyenne de Stolarsky est précisément égale à lorsqu'on prend . est bien une moyenne, car comprise entre a et b. De plus on peut prolonger par continuité à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante. est le minimum de a et b. s'exprime à partir de la moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de a et b. est leur moyenne géométrique. est leur moyenne logarithmique. Elle est obtenue par la formule en prenant . est leur moyenne (de Hölder) d'ordre 1/2. est leur moyenne "identrique". Elle est obtenue à partir de la formule en prenant . est leur moyenne arithmétique. s'exprime à partir de la moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de a et b. est le maximum de a et b. On peut généraliser cette moyenne à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé exprimé à l'aide des différences divisées. On obtient : avec . La définition pour est possible dès que la fonction est strictement convexe et dérivable sur . On a vu ci-dessus les cas . Pour , on a dont on peut noter qu'elle n'est pas homogène . D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type .