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Concept
P-matrice
Résumé
En mathématiques, une P-matrice ou matrice P est une matrice carrée réelle dont les mineurs principaux sont strictement positifs. Certains auteurs qualifient ces matrices de totalement strictement positives.
Les P-matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire.
Une notion voisine est celle de P-matrice.
On note
l'ensemble des premiers entiers,
le produit de Hadamard de deux vecteurs et , qui est défini par pour tout indice ,
la sous-matrice de formée de ses éléments avec indices de ligne dans et indices de colonne dans .
La notion de P-matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes.
Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966). L'équivalence entre les définitions 1 et 2 est due à Fiedler et Pták (1962).
De la définition 1, on déduit que
si, et seulement si, ,
si est symétrique, alors si, et seulement si, est définie positive,
est un ouvert de .
De la définition 2, on déduit que
si est définie positive, alors
Un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur tel que et Dans cette définition, est le transposé de et les inégalités doivent se comprendre composante par composante. Ce problème est parfois noté de manière compacte comme suit
L'importance des P-matrices dans les problèmes de complémentarité linéaire vient du résultat d'existence et d'unicité suivant.
Dès lors, si , il existe un vecteur tel que l'une des deux situations exclusives suivantes a lieu :
soit n'a pas de solution,
soit a plus d'une solution.
On ne peut cependant pas affirmer que, pour une matrice , même symétrique et non dégénérée, il existe un vecteur tel que la première des deux situations ci-dessus ait lieu. Ainsi
n'est pas une P-matrice, mais le problème a une solution quel que soit
La complémentarité linéaire offre une autre caractérisation des P-matrices, en termes d'une propriété d'un algorithme de résolution de ces problèmes, l'algorithme de Newton-min. Celui-ci est bien défini lorsque la matrice est non dégénérée.
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