Action d'Einstein-Hilbert

L'action d'Einstein-Hilbert, ainsi désignée en l'honneur d'Albert Einstein et David Hilbert, est un objet mathématique homogène à une action. Elle décrit la dynamique du champ gravitationnel. Elle est utilisée, en relativité générale, pour dériver le tenseur d'Einstein et l'équation d'Einstein dans le vide, ce au moyen d'un principe variationnel appelé principe de moindre action. L'intégrale d'action d'Einstein-Hilbert est souvent notée . Elle est donnée par : où : est la courbure scalaire de Ricci, définie comme la trace du tenseur de Ricci : ; est l'élément de volume invariant : est le déterminant du tenseur métrique : ; est l'élément de volume en coordonnées ; est la vitesse de la lumière dans le vide ; est la constante de Newton pour la gravitation ; est le nombre pi ; est la constante d'Einstein pour la gravitation : . Avec , l'action d'Einstein-Hilbert s'écrit : où : est la masse de Planck réduite, définie par . L'action d'Einstein-Hilbert est, par définition, homogène à une action : . L'équation aux dimensions est obtenue en considérant que le tenseur métrique est une grandeur sans dimension : . Il en résulte que la dimension du tenseur de Ricci est celle de l'inverse du carré d'une longueur : . Il en résulte que la courbure de Ricci a la même dimension . D'autre part, la dimension de est celle d'un volume à quatre dimensions : . Remarque Certains manuels définissent l'action d'Einstein-Hilbert avec un facteur au lieu d'un facteur . Avec ce choix, la quantité obtenue n'a pas la dimension d'une action. Supposons que notre théorie ne contienne que l'action d'Einstein-Hilbert ainsi qu'un terme décrivant n'importe quel champ de matière. L'action totale est donc : La variation de l'action par rapport à l'inverse de la métrique doit être nulle pour les solutions, donnant l'équation : Puisque cette équation tient pour toute variation , cela implique que est l'équation du mouvement pour la métrique.