Boucle d'oreille hawaïenne

droite|vignette|250x250px|La boucle d'oreille hawaïenne. Seuls les dix plus grands cercles sont affichés. En mathématiques, la boucle d'oreille hawaïenne, aussi appelée anneaux hawaïens, est un espace topologique obtenu par réunion d’une suite de cercles dans le plan Euclidien R2, qui sont tangents intérieurement et de rayon décroissant vers 0. Par exemple, on peut utiliser la famille des cercles de centre (1/n, 0) et de rayon 1/n pour tout entier naturel non nul n. Cet espace est homéomorphe au compactifié d'Alexandrov de l'union d'une famille infinie dénombrable d'intervalles ouverts. La boucle d'oreille hawaïenne peut être munie d'une métrique complète et elle est compacte. Elle est connexe par arcs mais pas semi-localement simplement connexe. La boucle d'oreille hawaïenne est très similaire au bouquet d'une infinité dénombrable de cercles ; en d'autres termes, la avec une infinité de pétales, mais ces deux espaces ne sont pas homéomorphes. La différence entre leurs topologies respectives est décelable dans le fait que, dans la boucle d'oreille hawaïenne, chaque voisinage ouvert du point d'intersection des cercles contient tous les cercles à un nombre fini près. On le voit aussi dans le fait que le bouquet n'est pas compact : le complément du point distingué est une union d'intervalles ouverts ; ajouter un petit voisinage ouvert du point distingué fournit un recouvrement ouvert n'admettant pas de sous-recouvrement fini. La boucle d'oreille hawaïenne n'est pas simplement connexe, étant donné que le lacet paramétrant un cercle n'est pas homotope à une simple boucle. Ainsi, elle possède un groupe fondamental G non trivial. La boucle d'oreille hawaïenne H admet le groupe libre à une infinité dénombrable de générateurs comme sous-groupe propre de son groupe fondamental. G contient des éléments supplémentaires, qui découlent de lacets dont l' n'est pas contenue dans un nombre fini de cercles de la boucle d'oreille hawaïenne ; en fait, certains d'entre eux sont surjectifs : par exemple, le chemin (défini sur [0, 1]) qui, pour tout entier naturel non nul n, « fait le tour » du nième cercle sur l'intervalle .

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MATH-323: Algebraic topology

Homology is one of the most important tools to study topological spaces and it plays an important role in many fields of mathematics. The aim of this course is to introduce this notion, understand it

In mathematics, a rose (also known as a bouquet of n circles) is a topological space obtained by gluing together a collection of circles along a single point. The circles of the rose are called petals. Roses are important in algebraic topology, where they are closely related to free groups. A rose is a wedge sum of circles. That is, the rose is the quotient space C/S, where C is a disjoint union of circles and S a set consisting of one point from each circle. As a cell complex, a rose has a single vertex, and one edge for each circle.

En mathématiques, un espace localement simplement connexe est un espace topologique qui admet une base d'ouverts simplement connexes. Tout espace localement simplement connexe est donc localement connexe par arcs et a fortiori localement connexe. Le cercle est localement simplement connexe mais pas simplement connexe. La boucle d'oreille hawaïenne n'est pas localement simplement connexe ni simplement connexe, puisqu'elle n'est même pas . Le cône de la boucle d'oreille hawaïenne est contractile donc simplement connexe, mais n'est pas localement simplement connexe.