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Concept
Algèbre de Calkin
Résumé
En analyse fonctionnelle — une branche des mathématiques — l'algèbre de Calkin d'un espace de Banach E est le quotient de l'algèbre de Banach B(E) des opérateurs bornés sur E par l'idéal fermé K(E) des opérateurs compacts. C'est donc encore une algèbre de Banach, pour la norme quotient. Lorsque l'espace E n'est pas précisé, il s'agit de l'espace de Hilbert H séparable et de dimension infinie. Son algèbre de Calkin permet de classifier entre autres les opérateurs normaux sur H, modulo les opérateurs compacts.
Le théorème d'Atkinson garantit qu'un opérateur borné sur E est de Fredholm si et seulement si sa classe dans B(E)/K(E) est inversible.
Par conséquent, les opérateurs de Fredholm forment un ouvert de B(E), comme , par l'application continue de passage au quotient, de l'ouvert des inversibles de l'algèbre de Calkin.
Si H est un espace de Hilbert, B(H)/K(H) hérite d'une structure de C*-algèbre quotient. Si H est séparable et de dimension infinie alors sa C*-algèbre de Calkin :
est simple, c'est-à-dire sans idéal (bilatère) non trivial car dans B(H), l'idéal K(H) est maximal (c'est en fait le seul idéal fermé non trivial) ;
possède un ensemble d'idempotents autoadjoints deux à deux orthogonaux (c'est-à-dire tels que pq = qp = 0) ayant la puissance du continu ;
n'a, par conséquent, pas de représentation séparable non nulle, c'est-à-dire que pour tout espace de Hilbert séparable H, il n'existe pas d'*-morphisme non nul de B(H)/K(H) dans B(H).
La classification des opérateurs normaux sur un espace de Hilbert séparable H se simplifie beaucoup lorsqu'on utilise des notions comme « modulo les compacts » ou « essentiel ».
Le σ(T) d'un opérateur T ∈ B(H) est par définition le spectre de sa classe π(T) ∈ B(H)/K(H). On démontre que si T est normal, σ(T) coïncide avec le spectre de T privé de ses points isolés de multiplicité (géométrique) finie. On peut remarquer que tout compact non vide de C est le spectre essentiel d'un opérateur normal sur H.
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