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Concept
Équation de Liapounov
Résumé
En théorie du contrôle, léquation discrète de Liapounov (également connue sous le nom d'équation de Stein ) est une équation de la forme
où est une matrice hermitienne et est la matrice adjointe de .
Léquation continue de Liapounov est de la forme
L'équation de Liapounov apparaît dans de nombreuses branches de la théorie du contrôle, telles que la stabilité de Liapounov et la commande optimale. Cette équation et des équations associées portent le nom du mathématicien russe Alexandre Liapounov.
Dans les énoncés suivants , et et sont des matrices symétriques. La notation signifie que la matrice est définie positive.
Théorème (version temps continu) — Étant donné , il existe un unique satisfaisant
si et seulement si le système linéaire est globalement asymptotiquement stable.
La fonction quadratique est une fonction de Liapounov qui peut être utilisée pour vérifier la stabilité.
Théorème (version en temps discret) — Étant donné , il existe un unique satisfaisant
si et seulement si le système linéaire est globalement asymptotiquement stable.
Comme ci-dessus, est une fonction de Liapounov.
L'équation de Liapounov est linéaire, et donc si est de taille , il peut être calculé en temps en utilisant les méthodes standard de factorisation matricielle.
Cependant, la structure spécifique de l'équation de Liapounov permet l'usage d'algorithmes beaucoup plus rapides. Dans le cas discret, la méthode de Schur de Kitagawa est souvent utilisée. Dans le cas de l'équation de Liapounov continue, l'algorithme de Bartels-Stewart peut être utilisé.
On considère l'opérateur de vectorisation qui empile les colonnes d'une matrice , et on note le produit de Kronecker de et de . Les équations de Liapounov en temps continu et en temps discret peuvent être exprimées comme des solutions d'une équation matricielle. De plus, si la matrice est stable, la solution peut également être exprimée sous la forme d'une intégrale (cas du temps continu) ou d'une somme infinie (cas du temps discret).
En utilisant le fait que , on a
où est la matrice identité de taille et est la matrice adjointe de .
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