Indépendance linéaire : le concept Wronskian

Cette séance de cours traite du concept de Wronskian associé à deux solutions d'une équation différentielle. L'instructeur explique que deux solutions sont linéairement indépendantes si chaque combinaison linéaire de ces solutions est égale à zéro seulement lorsque les coefficients sont nuls. Le Wronskian, noté W, est défini comme une fonction qui implique la première solution multipliée par la dérivée de la deuxième solution, moins la dérivée de la première solution multipliée par la deuxième solution. Cette fonction peut être interprétée comme le déterminant d'une matrice 2x2 formée par les solutions et leurs dérivés. La séance de cours présente un théorème indiquant que si deux solutions sont linéairement indépendantes, alors le Wronskian est non nul pour toutes les valeurs dans l'intervalle où l'équation est définie. L'instructeur démontre la preuve de ce théorème à travers une série d'étapes logiques, y compris une preuve par contradiction, établissant l'équivalence entre l'indépendance linéaire des solutions et la non-disparition du Wronskien.