L’unicité des solutions : le théorème de Cauchy-Lipschitz

Cette séance de cours traite de l'unicité des solutions dans le contexte des équations différentielles, en se concentrant sur le théorème de Cauchy-Lipschitz. L'instructeur commence par définir le concept d'unicité pour les solutions maximales, expliquant qu'une solution maximale est unique si toutes les solutions locales coïncident sur leurs intervalles définis. La séance de cours présente ensuite le théorème de Cauchy-Lipschitz, détaillant les conditions dans lesquelles une solution locale unique existe. L'instructeur souligne l'importance de l'état de Lipschitz, ce qui garantit que la différence entre les solutions peut être contrôlée. Plusieurs exemples illustrent l'application du théorème, démontrant comment les conditions locales et globales de Lipschitz affectent l'existence et l'unicité des solutions. La discussion comprend des cas où les fonctions ne sont pas globalement Lipschitz et comment les conditions locales peuvent encore produire des solutions uniques. La séance de cours se termine par un résumé des points clés concernant les conditions nécessaires pour assurer l'unicité des solutions dans les équations différentielles, soulignant l'importance de la condition de Lipschitz dans ce contexte.