Indépendance linéaire : le concept Wronskian

Cette séance de cours traite du concept de Wronskian, une notion théorique qui associe systématiquement deux solutions particulières d'une équation différentielle. L'instructeur définit l'indépendance linéaire de deux solutions, expliquant qu'une combinaison linéaire de ces solutions n'est égale à zéro que si les coefficients sont eux-mêmes nuls. La fonction Wronskian, notée W, est introduite comme déterminant d'une matrice 2x2 formée par les solutions et leurs dérivés. La séance de cours présente un théorème indiquant que si deux solutions sont linéairement indépendantes, alors le Wronskian est non nul pour toutes les valeurs dans l'intervalle où l'équation est définie. L'instructeur démontre les deux directions de la preuve du théorème, en utilisant une preuve par contradiction pour montrer que si le Wronskian est nul, les solutions doivent être dépendantes. La séance de cours conclut en établissant l'équivalence entre l'indépendance linéaire des solutions et la non-disparition du Wronskian à travers l'intervalle, solidifiant l'importance de ce concept dans les équations différentielles.