Inégalité isopérimétrique : transport optimal

Cette séance de cours se concentre sur l'inégalité isopérimétrique et son application surprenante dans le transport optimal. L'instructeur explique comment le théorème de Brignier est utilisé pour prouver l'inégalité, montrant que le périmètre d'un ensemble est supérieur ou égal au périmètre d'une balle avec le même volume. La séance de cours explore les propriétés de la carte de transport optimale, la convexité des fonctions et l'unicité des optimiseurs. L'instructeur discute également des cas de qualité, où des ensembles autres qu'une balle minimisent le périmètre à une zone donnée. La séance de cours se termine par une discussion sur le déficit d'un ensemble et d'un théorème raffiné par Alessio Figalli. Les concepts sont illustrés par des exemples et des preuves, fournissant un aperçu des implications géométriques de l'inégalité isopérimétrique.