Chaos et Lyapunov Exponents: Propriétés et Dynamiques

Cette séance de cours traite des propriétés du chaos, en se concentrant sur les exposants de Lyapunov et leur signification dans les systèmes chaotiques. L'instructeur commence par examiner la matrice jacobienne et son rôle dans la cartographie des quartiers d'états le long du flux. Le concept des exposants de Lyapunov est introduit, expliquant comment ils caractérisent l'expansion et la compression des quartiers dans une dynamique chaotique. Les exposants positifs de Lyapunov indiquent une dépendance sensible aux conditions initiales, tandis que les négatifs suggèrent une convergence des trajectoires proches. La séance de cours explore en outre les implications de zéro exposants Lyapunov et leur relation avec les perturbations le long du flux et des traductions continues. L'instructeur introduit ensuite la dimension de York de couplage comme une mesure de la complexité dans les systèmes chaotiques, le reliant aux degrés effectifs de liberté impliqués dans la dynamique. La discussion comprend des exemples d'attracteurs chaotiques, tels que le système de Lorenz, et souligne l'importance des orbites périodiques dans la dynamique chaotique. La séance de cours se termine par une définition du chaos basée sur les exposants de Lyapunov et les propriétés des systèmes chaotiques.