Analyse complexe : série Laurent et théorème des résidus

Cette séance de cours couvre l'achèvement du chapitre sur la série Laurent, en se concentrant sur le théorème des résidus et ses applications dans le calcul intégral complexe. L'instructeur commence par examiner les résultats précédents liés à la détermination de l'ordre des pôles dans les fonctions exprimées en fractions. La séance de cours explique comment identifier les pôles et calculer les résidus en utilisant les expansions de la série Laurent. L'instructeur fournit un exemple détaillé impliquant la fonction f(z) 1/(z sin z), analysant son comportement autour du pôle à zéro. Le processus d'isolement du résidu est démontré par une approche systématique d'élimination des singularités et de dérivation des termes nécessaires. La séance de cours passe à la définition de l'intégration complexe, en soulignant l'importance de la paramétrisation des courbes dans le plan complexe. L'instructeur introduit le théorème des résidus, illustrant comment calculer les intégrales des fonctions holomorphes autour des singularités. La session se termine par des exemples pratiques, renforçant les concepts de résidus et leur importance dans l'évaluation des intégrales complexes, ouvrant la voie à une exploration plus approfondie dans l'analyse complexe.