L’unicité des solutions : le théorème de Cauchy-Lipschitz

Cette séance de cours traite de l'unicité des solutions dans le contexte des équations différentielles, en se concentrant sur le théorème de Cauchy-Lipschitz. L'instructeur commence par définir le concept d'unicité pour les solutions maximales, expliquant qu'une solution maximale est unique si toutes les solutions locales coïncident sur leurs intervalles définis. La séance de cours présente ensuite le théorème de Cauchy-Lipschitz, détaillant les conditions dans lesquelles une solution locale unique existe. L'instructeur souligne l'importance de la condition de Lipschitz, qui assure que la différence entre les valeurs de fonction peut être limitée par une constante. Plusieurs exemples illustrent l'application du théorème, y compris les cas où les fonctions sont globalement Lipschitz et où les conditions locales Lipschitz conduisent à des solutions uniques. La discussion met également en évidence les scénarios où l'unicité échoue, en particulier lorsqu'il s'agit de fonctions présentant des pentes infinies. La séance de cours se termine par le renforcement de la signification de définir correctement les intervalles et les conditions pour assurer l'unicité des solutions dans les équations différentielles.