Couplage (théorie des graphes)En théorie des graphes, un couplage ou appariement (en anglais matching) d'un graphe est un ensemble d'arêtes de ce graphe qui n'ont pas de sommets en commun. Soit un graphe simple non orienté G = (S, A) (où S est l'ensemble des sommets et A l'ensemble des arêtes, qui sont certaines paires de sommets), un couplage M est un ensemble d'arêtes deux à deux non adjacentes. C'est-à-dire que M est une partie de l'ensemble A des arêtes telle que Un couplage maximum est un couplage contenant le plus grand nombre possible d'arêtes.
Maximum weight matchingIn computer science and graph theory, the maximum weight matching problem is the problem of finding, in a weighted graph, a matching in which the sum of weights is maximized. A special case of it is the assignment problem, in which the input is restricted to be a bipartite graph, and the matching constrained to be have cardinality that of the smaller of the two partitions. Another special case is the problem of finding a maximum cardinality matching on an unweighted graph: this corresponds to the case where all edge weights are the same.
Théorème de Kőnig (théorie des graphes)vignette|Exemple d'un graphe biparti avec un couplage maximum (en bleu) et une couverture de sommets minimale (en rouge), tous les deux de taille 6. Le théorème de Kőnig est un résultat de théorie des graphes qui dit que, dans un graphe biparti, la taille du transversal minimum (i. e. de la couverture par sommets minimum) est égale à la taille du couplage maximum. La version pondérée du théorème est appelée théorème de Kőnig-. Un couplage d'un graphe G est un sous-ensemble d'arêtes de G deux-à-deux non adjacentes ; un sommet est couplé s'il est extrémité d'une arête du couplage.
Maximum cardinality matchingMaximum cardinality matching is a fundamental problem in graph theory. We are given a graph G, and the goal is to find a matching containing as many edges as possible; that is, a maximum cardinality subset of the edges such that each vertex is adjacent to at most one edge of the subset. As each edge will cover exactly two vertices, this problem is equivalent to the task of finding a matching that covers as many vertices as possible.
Graphe bipartiEn théorie des graphes, un graphe est dit biparti si son ensemble de sommets peut être divisé en deux sous-ensembles disjoints et tels que chaque arête ait une extrémité dans et l'autre dans . Un graphe biparti permet notamment de représenter une relation binaire. Il existe plusieurs façons de caractériser un graphe biparti. Par le nombre chromatique Les graphes bipartis sont les graphes dont le nombre chromatique est inférieur ou égal à 2. Par la longueur des cycles Un graphe est biparti si et seulement s'il ne contient pas de cycle impair.
Line graphEn théorie des graphes, le line graph L(G) d'un graphe non orienté G, est un graphe qui représente la relation d'adjacence entre les arêtes de G. Le nom line graph vient d'un article de Harary et Norman publié en 1960. La même construction avait cependant déjà été utilisée par Whitney en 1932 et Krausz en 1943. Il est également appelé graphe adjoint. Un des premiers et des plus importants théorèmes sur les line graphs est énoncé par Hassler Whitney en 1932, qui prouve qu'en dehors d'un unique cas exceptionnel, la structure de G peut être entièrement retrouvée à partir de L(G) dans le cas des graphes connexes.
Graphe orientéthumb|Un graphe orienté .(Figure 1) Dans la théorie des graphes, un graphe orienté est un couple formé de un ensemble, appelé ensemble de nœuds et un ensemble appelé ensemble d'arêtes. Les arêtes sont alors nommées arcs, chaque arête étant un couple de noeuds, représenté par une flèche. Étant donné un arc , on dit que est l'origine (ou la source ou le départ ou le début) de et que est la cible (ou l'arrivée ou la fin) de . Le demi-degré extérieur (degré sortant) d'un nœud, noté , est le nombre d'arcs ayant ce nœud pour origine.
Problème des mariages stablesvignette|Algorithme de Gale Shapley. En mathématiques, informatique et économie, le problème des mariages stables consiste à trouver, étant donné n hommes et n femmes, et leurs listes de préférences, une façon stable de les mettre en couple. Une situation est dite instable s'il y a au moins un homme et une femme qui préféreraient se mettre en couple plutôt que de rester avec leurs partenaires actuels (Dupont préfère à , et préfère Dupont à Durand). Ce problème a des applications en économie, en théorie des jeux et en physique statistique.
Problème de flot maximumthumb|right|Un exemple de graphe de flot avec un flot maximum. la source est , et le puits . Les nombres indiquent le flot et la capacité. Le problème de flot maximum consiste à trouver, dans un réseau de flot, un flot réalisable depuis une source unique et vers un puits unique qui soit maximum. Quelquefois, on ne s'intéresse qu'à la valeur de ce flot. Le s-t flot maximum (depuis la source s vers le puits t) est égal à la s-t coupe minimum du graphe, comme l'indique le théorème flot-max/coupe-min.
Algorithme d'Edmonds pour les couplagesEn informatique, plus précisément en théorie des graphes, l'algorithme d'Edmonds pour les couplages (blossom algorithm en anglais), aussi connu sous le nom d'algorithme des fleurs et des pétales est un algorithme pour construire des couplages maximaux sur les graphes. L'algorithme a été développé par Jack Edmonds en 1961, et publié en 1965. Étant donné un graphe quelconque G = (V, E), l'algorithme trouve un couplage M tel que chaque sommet de V est incident à au plus une arête dans E et M est de cardinal maximal.
