Fonctions holomorphes : équations de Cauchy-Riemann et applications

Cette séance de cours couvre le concept de fonctions holomorphes et leurs propriétés, en se concentrant sur les équations de Cauchy-Riemann. L'instructeur commence par examiner le matériel précédent sur l'holomorphité et introduit la signification des équations de Cauchy-Riemann dans l'établissement de la relation entre les parties réelles et imaginaires des fonctions complexes. La séance de cours comprend des exemples démontrant comment vérifier si une fonction est holomorphe en vérifiant ces équations. L'instructeur met l'accent sur les implications de l'holomorphicité, telles que l'existence de dérivés et le comportement de fonctions complexes sous transformations. Les aides visuelles sont utilisées pour illustrer l'interprétation géométrique des fonctions holomorphes, y compris la façon dont elles cartographient les cercles dans le plan complexe. La séance de cours se termine par une discussion sur la fonction logarithmique et ses propriétés, en particulier sa nature holomorphe, sauf le long de l'axe réel négatif. L'instructeur présente également le concept de la série Taylor et leur pertinence dans l'analyse complexe, ouvrant la voie à de futurs sujets dans le cours.