3-variété

En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes). Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures. Cette spécificité des 3-variétés a conduit à la découverte de leurs relations étroites avec de multiples domaines comme la théorie des nœuds, la théorie géométrique des groupes, la géométrie hyperbolique, la théorie des nombres, la théorie de Teichmüller, la théorie quantique des champs , les théories de jauge, l'homologie de Floer et les équations aux dérivées partielles. La théorie des 3-variétés fait partie de la topologie en basses dimensions, donc de la topologie géométrique. Une idée clé de cette théorie est d'étudier une 3-variété M en considérant des surfaces particulières plongées dans M. Choisir la surface « bien placée » dans la 3-variété mène à l'idée de et à la théorie des ; la choisir telle que les morceaux du complémentaire soient le plus « agréables » possible conduit aux , utiles même dans le cas non-Haken. Les 3-variétés possèdent souvent une structure additionnelle : l'une des huit géométries de Thurston (dont la plus courante est l'hyperbolique). L'utilisation combinée de cette géométrie et des surfaces plongées s'est révélée fructueuse. Le groupe fondamental d'une 3-variété donne beaucoup d'informations sur sa géométrie et sa topologie, d'où l'interaction entre théorie des groupes et méthodes topologiques. Espace euclidien de dimension 3 3-sphère S Groupe spécial orthogonal SO(3) (ou espace projectif réel RP) Tore T Espace hyperbolique H Sphère d'homologie de Poincaré (Ces classes ne sont pas disjointes.) Compléments de nœuds ou d'entrelacs hyperboliques (, entrelacs de Whitehead, anneaux borroméens...