Schéma produit

En géométrie algébrique, le produit de deux schémas (plus exactement de deux schémas au-dessus d'un même schéma de base) est l'équivalent des produits d'anneaux, d'espaces vectoriels, d'espaces topologiques... C'est un outil de base pour construire des schémas, faire du changement de bases etc. On fixe un schéma (appelé schéma de base) et on considère la catégorie des -schémas. Soient deux -schémas. En langage catégoriel, le produit (fibré) de au-dessus de est simplement le produit fibré de , dans la catégorie des -schémas. En terme plus concret, le produit fibré de au-dessus de est la donnée d'un -schéma noté , et des morphismes (morphismes de projection) , vérifiant la propriété universelle suivante: pour tout -schéma et pour tout couple de morphismes de -schémas et , il existe un unique morphisme tel que et . Comme toute solution d'un problème universelle, l'unicité découle immédiatement de la définition. L'existence se prouve en se ramenant au produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un schéma affine. On utilise alors le fait que le produit tensoriel de deux algèbres au-dessus d'un anneau commutatif unitaire est la somme dans la catégorie des -algèbres, catégorie opposée de la catégorie des -schémas affines. Notation. On note généralement le produit fibré par , les morphismes de projection étant sous-entendus. Si est affine, on peut remplacer par dans la notation. Le morphisme dans la propriété universelle ci-dessus se note . Pour tout -schéma , l'application définie par est bijective. Si et sont affines, alors et les morphisme de projections sont induits par les homomorphismes d'anneaux , définis respectivement par et . Si sont des parties ouvertes respectives de , alors , et les morphismes de projections de sont juste les restrictions de . On a des isomorphismes canoniques Si est un -schéma, alors on a un isomorphisme canonique Si sont des algèbres au-dessus d'un corps . Alors est le -schéma affine associé à la -algèbre . Si et , alors . Donc . Si et , alors est le quotient de par l'idéal engendré par .