Chaîne de Steiner
vignette|droite|Une chaîne de Steiner fermée de douze cercles de Steiner (en noir); les deux cercles de départ sont en bleu (extérieur) et en rouge (intérieur). En géométrie, une chaîne de Steiner est une suite finie de cercles tangents à deux cercles fixes disjoints , chacun des cercles étant en contact avec le précédent. Les chaînes de Steiner portent le nom du mathématicien suisse Jakob Steiner (1796 - 1863). Un résultat fondamental est le porisme de Steiner, ou alternative de Steiner , qui dit : Si, pour une paire de cercles de départ, le dernier cercle de la chaîne touche le premier, alors la chaîne se refermera quel que soit le premier cercle, avec le même nombre de cercles. On en déduit que si une chaîne ne se referme pas, aucune ne se refermera. Pour la construction de chaînes de Steiner, l'inversion est un outil puissant qui transforme une chaîne de Steiner en une autre chaîne de Steiner, en particulier en une chaîne de Steiner dont les cercles de départ sont concentriques. Les hexlets de Soddy sont une généralisation des chaînes de Steiner avec des sphères, et les chaînes de Pappus étudient le cas où les deux cercles de départ sont tangents. Il est commode de voir une chaîne de Steiner comme formée d'une succession de cercles, appelés « cercles de Steiner », commençant par un cercle « initial » et se terminant par un cercle « final ». Habituellement, on considère des chaînes « fermées », dans lesquelles le cercle final est aussi tangent au cercle initial; sinon la chaîne est dite « ouverte ». Quant aux cercles de départ, la seule condition est qu'ils ne se touchent pas et ne se coupent pas. Cela implique que, soit le plus petit des cercles est à intérieur du plus grand, soit les deux cercles sont à l’extérieur l'un de l’autre sans se toucher. La figure illustre le cas d'une chaîne de Steiner fermée avec les deux cercles de départ contenus l'un dans l'autre . En plus du cas standard, il existe plusieurs variantes. Habituellement, on considère des chaînes de Steiner fermées, où les cercles initial et final sont tangents.
