Cercles d'Apollonius (fractale)

En mathématiques, la figure des cercles d'Apollonius est un empilement compact de cercles dans un cercle. Elle est construite en itérant la construction d'Apollonius des deux cercles tangents à trois cercles deux à deux tangents. Sa densité est égale à 1, ce qui signifie que l'aire laissée par les interstices est nulle. C'est aussi une figure de géométrie fractale dont on a calculé la dimension. Elle a été ainsi nommée en l'honneur du mathématicien grec Apollonius de Perge qui a posé le problème de la détermination des cercles tangents à trois cercles. La partie centrale de la figure située entre les trois cercles initiaux, que l'on retrouve une infinité de fois dans la figure, s'appelle une baderne d'Apollonius . Fichier:Apollonian 2D N3 L7.svg|Figure des cercles d'Apollonius, partant de trois cercles de même taille. Fichier:Baderne apollonius.gif|Baderne d'Apollonius, empilement de cercles situés entre trois cercles extérieurement tangents de même taille, formée elle-même de trois badernes, elles-mêmes formées... D'après François Apéry qui cite Benoit Mandelbrot, ce dernier a créé le terme anglais "apollonian gasket" (joint de culasse apollonien) en 1977, en même temps que le terme "Sierpinski gaskett" (tamis de Sierpinki, fractale de construction similaire) en pensant aux "feuilles de caoutchouc trouées assurant l'étanchéité des moteurs". La traduction française "baderne d'Apollonius" serait due à Bouvier et George dans la première édition de leur dictionnaire de mathématiques en 1979, le mot "gaskett" désignant aussi une corde marine. Mandelbrot aurait préféré le terme "garcette". La figure des cercles d'Apollonius peut être construite comme suit. On débute avec trois cercles C1, C2 et C3, chacun d'eux étant tangent aux deux autres (dans la construction générale, ces trois cercles peuvent avoir n'importe quelle taille, tant qu'ils sont tangents). Apollonius découvrit qu'il existe deux autres cercles qui n'ont pas d'intersection, C4 et C5, qui ont la propriété d'être tangents avec les trois cercles originaux — ceux-ci ont été appelés cercles d'Apollonius.

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Chaîne de Steiner

vignette|droite|Une chaîne de Steiner fermée de douze cercles de Steiner (en noir); les deux cercles de départ sont en bleu (extérieur) et en rouge (intérieur). En géométrie, une chaîne de Steiner est une suite finie de cercles tangents à deux cercles fixes disjoints , chacun des cercles étant en contact avec le précédent. Les chaînes de Steiner portent le nom du mathématicien suisse Jakob Steiner (1796 - 1863).

Problème des contacts

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le problème des contacts, appelé également problème d'Apollonius ou problème des trois cercles, est un des grands problèmes de l'Antiquité grecque. Il s'agit de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés de rayons différents. Ce problème a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius. En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par François Viète qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions.