Lemme de Krasner

En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques. Soit un corps valué complet non archimédien et soit une clôture algébrique séparable de . Étant donné un élément dans , notons ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivante. Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent. En d'autres termes, étant donné un idéal premier d'un corps global , la clôture séparable de la complétion -adique de est égale à la complétion -adique de la clôture séparable de , où est un idéal premier de au-dessus de (qui contient) . Une autre application consiste à prouver que , la complétion de la clôture algébrique de , est algébriquement clos. Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante. Considérons un polynôme unitaire de degré à coefficients dans un corps hensélien et ayant ses racines dans la clôture algébrique . Soient I et deux ensembles disjoints non vides dont l'union est . Considérons de plus un polynôme à coefficients et racines dans et supposons que . Supposons que pour tout et tout . Alors les coefficients des polynômes et sont contenus dans l'extension de engendré par . (Le lemme de Krasner original correspond au cas où est de degré 1.