Faisceau (géométrie)

En géométrie, un faisceau est une famille d'objets géométriques partageant une propriété commune, par exemple l'ensemble de droites passant par un même point dans le plan, ou l'ensemble de cercles passant par deux points dans le plan. Si la définition d'un faisceau est assez vague, la caractéristique commune est que le faisceau est complètement déterminé par deux de ses éléments. De façon analogue, un ensemble d'objets géométriques déterminés par trois éléments quelconques est appelé un fibré. Ainsi, l'ensemble de toutes les droites passant par un point de l'espace 3D est un fibré de droites, deux d'entre elles caractérisant un faisceau de droites. Pour appuyer la nature de la dimension d'un faisceau, on parle parfois de faisceau plat. Tout objet géométrique peut être utilisé comme un faisceau. Les plus communs sont des droites, des plans, des cercles, des coniques, des sphères et des familles de courbes. Les points peuvent être utilisés : un faisceau de points est l'ensemble de tous les points sur une droite donnée. Un terme plus commun pour cet ensemble est une . Dans un plan, soit u et v deux droites sécantes. On supposera pour aider que u a pour équation aX + bY + c = 0 et v a pour équation a'X + b'Y + c′ = 0. Alors représente, pour des scalaires λ et μ bien choisis, toute droite passant par l'intersection de u et v. Cet ensemble de droites passant par un point commun est un faisceau de droites, et ce point commun est appelé sommet du faisceau. Dans un plan affine avec la variante réflexive du parallélisme, un ensemble de droites parallèles forme une classe d'équivalence appelée un faisceau de droites parallèles. Cette terminologie est cohérente avec la définition précédente car dans l'unique extension projective du plan affine à un plan projectif un point isolé (point à l'infini) est ajouté à chaque droite dans le faisceau de droites parallèles, ce qui correspond au sommet du faisceau comme précisé au-dessus mais dans le plan projectif. Un faisceau de plans est l'ensemble des plans passant par une droite de l'espace, appelé laxe du faisceau.