Théorème bipolaire

En mathématiques, le théorème bipolaire est un théorème d'analyse convexe qui fournit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un cône soit égal à son cône bipolaire. Le théorème bipolaire peut être vu comme un cas particulier du théorème de Fenchel-Moreau. Pour tout ensemble non vide d'un espace vectoriel , le cône bipolaire est donné par où désigne l'enveloppe convexe est un cône convexe non vide et fermé si et seulement si , où , et désigne le cône dual positif. Plus généralement, si est un cône convexe non vide alors le cône bipolaire est donné par Si est la fonction indicatrice d'un cône . Alors la fonction convexe conjuguée est la fonction d'appui de , et . Donc si et seulement si . Le théorème de Fenchel-Moreau peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire.