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Concept
Topologie faible
Résumé
En mathématiques, la topologie faible d'un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E'. On définit également sur E' une topologie dite faible-* au moyen de E.
Dans tout cet article, sauf mention contraire, on notera pour et forme linéaire sur .
Soient E un espace vectoriel normé (réel ou complexe), ou plus généralement un espace vectoriel topologique et E' son dual topologique, c’est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E. On appelle alors topologie faible sur E, notée σ(E, E'), la topologie initiale associée à la famille de toutes les formes linéaires continues sur E, c'est-à-dire la topologie la moins fine gardant continus les éléments de E' . Elle est engendrée par les ouverts de la forme φ(U), où φ est un élément de E et U un ouvert du corps des scalaires.
Cette topologie σ(E, E') est définie par la famille de semi-normes où désigne un élément quelconque de E'. Elle munit donc E d'une structure d'espace localement convexe. Elle est séparée si et seulement si le dual topologique E' de E de E (i.e. ), ce qui est le cas d'après le théorème de Hahn-Banach dès que E est un espace vectoriel normé ou plus généralement, un espace localement convexe séparé.
En particulier, une suite d'éléments de E converge faiblement vers un élément u de E lorsque :
Par opposition, la topologie originelle de E s'appelle topologie forte, et la convergence au sens de cette topologie s'appelle convergence forte.
Soit E l'espace c(R) des suites réelles de limite nulle, muni de la norme . Un élément de E' peut être représenté par une suite réelle telle que la série soit absolument convergente. On a alors :
Pour n entier naturel, soit l'élément de E consistant en une suite de réels tous nuls sauf le n-ième terme qui vaut 1. Alors constitue une suite de E qui converge faiblement vers 0 mais pas fortement.
La convergence forte dans E implique la convergence faible.
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