Espace localement convexe

En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé. Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes : il existe une famille de semi-normes telle que la topologie de E est initiale pour l'ensemble d'applications ; le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes. Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante. démonstration|titre=Démonstration de l'équivalence des deux définitions|contenu= (1) ⇒ (2)En effet toute semi-norme p sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0, l'ensemble des x de E vérifiant p(x) < R est convexe. (2) ⇒ (1)Soient T la topologie de E, supposée vérifier (2), et T ' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T.Il s'agit de prouver qu'inversement, T ⊂ T '. Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T '-voisinage de 0.Or pour un tel V, par continuité de l'application (λ, v) ↦ λv, il existe un réel α > 0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après (2), tels queV contient alors l'ensemble Ω défini parDe plus, Ω est voisinage de 0 (donc absorbant), convexe, et équilibré. sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon est par conséquent un T '''-voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V. Tout espace vectoriel normé est localement convexe (topologie définie par une seule semi-norme : la norme). La topologie faible d'un espace vectoriel topologique est localement convexe. On utilise les formes linéaires continues en module comme famille de semi-normes. Sur son dual topologique, les topologies forte et faible-* sont, elles aussi, définies chacune par une famille de semi-normes. Pour , les espaces métriques de suites et les espaces métriques de fonctions ne sont pas des espaces localement convexes.