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Concept
Espace localement convexe
Résumé
En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé.
Définition
Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :
il existe une famille de semi-normes \mathcal{P} telle que la topologie de E est initiale pour l'ensemble d'applications {x\mapsto p(x-y)\mid y\in E,p\in\mathcal{P}} ;
le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.
Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante. démonstration|titre=Démonstration de l'équivalence des deux définitions|contenu=- (1) ⇒ (2)En effet toute semi-norme p sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0, l'ensemble des x de E vérifiant p(x) < R est convexe.
- (2) ⇒ (1)Soient T la topologie de E, supposée vérif
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