Type (théorie des modèles)

En théorie des modèles, un type est un ensemble de formules à une même variable libre, consistant avec une théorie donnée, c'est-à-dire tel qu'il existe un modèle de la théorie en question dont un élément satisfait chacune des formules du type. Soit T une théorie dans un langage L, M un modèle de T et A ⊆ M un ensemble de paramètres. On appelle type (partiel) sur A tout ensemble de formules en (au plus) une même variable libre à paramètres dans A consistant avec Diag(A) (le diagramme complet de A), i.e. tel qu'il existe une -structure N et b ∈ N et pour toute formule de , N ⊨ (b). Plus généralement, pour un entier naturel non nul n, on définit de manière similaire les n-types (ensembles consistants de formules à variables libres parmi n variables fixées). On peut également étendre cette définition aux ordinaux quelconques, on parle de -types. Toujours dans le même cadre, on désigne par type complet sur A un type tel que pour toute -formule à au plus une variable libre, on a (i.e. toute réalisation de réalise également ) ou bien . L'ensemble des n-types complets sur A est noté , si A = ∅ on note parfois . Les conventions varient selon les auteurs, et certains nomment type partiel ce que nous appelons type et type nos types complets. Soit a ∈ M ⊨ T, A ⊆ M, on appelle type de a sur A l'ensemble des formules que M satisfait en a (cela comprend donc les formules closes). On voit sans peine qu'il s'agit d'un type complet, que l'on note ; la définition s'adapte pour des uples d'éléments de taille quelconque. Pour tout entier non nul n, on munit d'une topologie : on la définit en prenant comme ouverts de base les parties . On remarque que cette topologie est totalement discontinue : tout ouvert de base est également un fermé puisque son complémentaire est . D'autre part, le théorème de compacité entraine la compacité de l'espace . Les espaces de types permettent, dans un langage dénombrable, une caractérisation simple des , qui ont exactement un modèle dénombrable (à isomorphisme près) : un théorème de affirme qu'une théorie T complète, dénombrable dont les modèles sont infinis est -catégorique si et seulement si pour tout entier n, est fini.