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Concept
Théorie axiomatique
Résumé
Quand on parle de théorie mathématique, on fait référence à une somme d'énoncés, de définitions, de méthodes de preuve, etc. La théorie de la calculabilité en est un exemple. Par théorie axiomatique, on fait référence à quelque chose de plus précis, des axiomes et leurs conséquences, les théorèmes, énoncés dans un langage précis. Dans la suite on dira le plus souvent théorie pour théorie axiomatique, ce qui est d'usage courant en logique mathématique.
Cet article n'a pas vocation à parler de la signification du mot « théorie » en dehors du contexte des mathématiques, et même des mathématiques formelles.
Les Éléments d'Euclide sont considérés comme le premier exemple de théorie axiomatique, même si quelques axiomes étaient restés implicites. La notion moderne de théorie axiomatique s'est développée au cours du et du début du , d'une part à cause de la découverte au du calcul infinitésimal, qui nécessitait d'autres fondements aux mathématiques que ceux des Éléments d'Euclide, d'autre part à cause du développement de la géométrie et de l'algèbre moderne (voir aussi le programme d'Erlangen).
Quand on veut définir précisément cette notion en logique mathématique, on définit tout d'abord précisément le langage de la théorie : par exemple un langage du premier ordre.
Suivant les auteurs, on désigne par « théorie » :
un ensemble quelconque d'énoncés (des formules closes, c’est-à-dire sans variable libre) du langage considéré ;
ou un ensemble d'énoncés clos par déduction dans la logique considérée, sans autre précision il s'agit de la logique classique.
Dans le premier cas, le mot « théorie » fait référence à un ensemble d'axiomes de la théorie. Dans le second, il fait référence aux théorèmes de la théorie.
Un choix immédiat, quoique guère intéressant, serait de prendre tous les théorèmes comme axiomes ; il y a donc toujours un système d'axiomes pour une théorie donnée (au sens close par déduction), et il y a même forcément plusieurs systèmes d'axiomes possibles pour une théorie donnée.
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