L-théorie algébrique

En mathématiques, la « L-théorie algébrique » est l'équivalent de la K -théorie pour des formes quadratiques. Le terme a été inventé par C. T. C. Wall, qui a utilisé L car c'était la lettre après le K . La théorie L algébrique, également connue sous le nom de « théorie K hermitienne », est importante dans la théorie de la chirurgie. On peut définir des L -groupes pour tout anneau d'involution R : les L -groupes quadratiques (Wall) et les L -groupes symétriques (Mishchenko, Ranicki). Les L-groupes de dimension paire sont définis comme les groupes de Witt de formes ε-quadratiques sur l'anneau R avec . Plus précisément, est le groupe abélien de classes d'équivalence et de formes ε-quadratiques non dégénérées sur R, où les R-modules F sous-jacents sont libres de génération finie. La relation d'équivalence est donnée par stabilisation par rapport aux formes ε-quadratiques hyperboliques : L'addition dans est défini par L'élément zéro est représenté par pour tout . L'inverse de est . La définition des L-groupes de dimension impaire est plus compliquée ; de plus amples détails et la définition des L-groupes de dimension impaire peuvent être trouvés dans les références mentionnées ci-dessous. Les L -groupes d'un groupe sont les L-groupes de l'anneau . Dans les applications à la topologie, est le groupe fondamental d'un espace . Les L -groupes quadratiques jouent un rôle central dans la classification chirurgicale des types d'homotopie -variétés dimensionnelles de dimension , et dans la formulation de la conjecture de Novikov. La distinction entre les L-groupes symétriques et les L-groupes quadratiques, indiquée par des indices supérieurs et inférieurs, reflète l'utilisation dans l'homologie et la cohomologie de groupe. La cohomologie de groupe du groupe cyclique traite des points fixes d'une action , tandis que l'homologie de groupe traite des orbites d'une action , compare (points fixes) et (orbites, quotient) pour la notation d'index supérieur/inférieur.