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Concept
Chirurgie (topologie)
Résumé
En mathématiques, et particulièrement en topologie géométrique, la chirurgie est une technique, introduite en 1961 par John Milnor, permettant de construire une variété à partir d'une autre de manière « contrôlée ». On parle de chirurgie parce que cela consiste à « couper » une partie de la première variété et à la remplacer par une partie d'une autre variété, en identifiant les frontières ; ces transformations sont étroitement liées à la notion de décomposition en anses. La chirurgie est un outil essentiel dans l'étude et la classification des variétés de dimension supérieure à 4.
Plus précisément, l'idée est de partir d'une variété qu'on connaît bien, et d'opérer chirurgicalement sur elle pour construire une variété ayant les propriétés que l'on souhaite, de telle sorte que les effets de ces opérations sur les groupes d'homologie, d'homotopie, ou sur d'autres invariants de la variété soient calculables.
La classification des sphères exotiques par Kervaire et Milnor en 1963 amena à l'émergence de la chirurgie comme un outil majeur de la topologie en grande dimension.
Dans tout cet article, on note la sphère de dimension p, et la boule (fermée) de dimension p+1 dont est le bord. L'observation fondamentale justifiant la chirurgie est que l'espace peut être vu, soit comme la frontière de , soit comme la frontière de . Par conséquent, étant donné une variété de dimension et un plongement , on peut définir une autre variété de dimension par
On dit que la variété est produite par chirurgie, coupant et collant ,
ou plus précisément par -chirurgie si l'on veut expliciter . À proprement parler, est une variété à coins, mais il y a une façon canonique de les lisser.
La chirurgie est proche de l'opération d'attachement d'anses (mais ne lui est pas identique). Étant donné une variété à bord de dimension , , et un plongement , on définit une autre variété à bord de dimension , , par
On dit que est obtenue en attachant une -anse, étant obtenue à partir de par la -chirurgie
Une opération de chirurgie sur ne construit pas seulement une nouvelle variété , mais aussi un cobordisme entre et .
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