Transvection

Une transvection est une transformation géométrique. Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations. Image:france1.gif|Dessin d'origine Image:france transvection.gif|Résultat d'une transvection Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f – id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f – id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)). On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) – x appartient à H). Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id) = 0. Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x) = x + h(x)u. Les transvections sont bijectives (f(x) = x – h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(E) de E. L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif H (à u de H, faire correspondre la transvection x ↦ x + h(x)u). Dans une base de E contenant une base de H dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de D, la transvection a pour matrice une matrice du type avec i ≠ j, la matrice E étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j). Ces matrices I + λE sont appelées matrices élémentaires de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(K). La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est vignette|IllustrationLa transvection associée à la matrice ,illustrée ci-contre. Dans R2, considérons u définie par u: X=(x,y)→(x+2y,y)=(x,y)+y(2,0)=X+g(X)c où g:X=(x,y)→y est une forme linéaire et c=(2,0). u est la transvection d'hyperplan l'axe des abscisses et de droite l'axe des abscisses. On retrouve la forme (condition équivalente n°2 ) proposée dans la définition générale.