Concept
Inéquation
Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent vraie l'inégalité. Il faut évidemment que le symbole < ou ≤ ait un sens. Il est donc nécessaire, en mathématiques élémentaires, que les inconnues appartiennent à l'ensemble des nombres réels ou à une de ses parties. En particulier, il est impossible de travailler dans l'ensemble des nombres complexes. Exemples : La résolution des inéquations va demander la connaissance de quelques règles opératoires s'apparentant à celles déjà évoquées pour la résolution des équations mais avec de subtiles et fondamentales différences :
- Transitivité de l'inégalité Si et alors (propriétés valables pour deux inégalités de même nature : deux inégalités « », ou deux inégalités « » ou deux inégalités « » ou deux inégalités « »
- On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature. Si alors
- On peut soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature. Si alors
- On peut multiplier par un même nombre strictement positif (donc différent de 0) les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature. Si et si alors Si on multiplie par un nombre strictement négatif (donc différent de 0), l'inégalité change de sens Si et si alors
- On peut diviser par un même nombre strictement positif (donc différent de 0) les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature. Si et si alors Si on divise par un nombre strictement négatif (donc différent de 0), l'inégalité change de sens Si et si alors À ces quelques règles, on ajoutera les quatre règles suivantes : L'inégalité est compatible avec l'addition, c'est-à-dire que l'on peut additionner membre à membre deux inégalités de même nature Si et alors Mais on ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même sens (car une soustraction est une addition de l'opposé et la prise de l'opposé change le sens de l'inégalité).
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